Внутри однородного шара радиусом 39 см находится сферическая полость радиусом 13 см, касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии (в см) от центра шара находится центр масс шара с полостью? Если ответ не целый, округлите его до сотых.

Рассмотрим шар однородной плотности. Полость можно учитывать как “отрицательную массу” (то есть как шар, который мы вырезали из большого).

Дано:

• Радиус большого шара $R = 39$ см

• Радиус сферической полости $r = 13$ см

• Полость касается поверхности шара, значит расстояние между центрами равно

Пусть масса большого шара $M$, а масса вырезанной полости $m$. Так как плотность одинаковая, массы пропорциональны объёмам:

Центр масс исходного шара в его центре. После удаления полости центр масс смещается в сторону, противоположную полости. Найдём величину смещения $x$ от центра большого шара:

Используем формулу центра масс для системы “$M$ в точке 0” и “$-m$ в точке $d$”:

Нас интересует расстояние, то есть модуль:

Подставим $\frac{m}{M}=\frac{1}{27}$:

Ответ: $1$ см.