В кювете с жидкостью на глубине расположен источник света. На дне кюветы находится плоское зеркало. Слой жидкости в кювете равен 6 см. На поверхности жидкости над источником света плавает чёрный диск площадью 314 см². На какой глубине должен быть расположен источник света, чтобы он был виден внешнему наблюдателю, если показатель преломления жидкости 1,14? (Ответ должен получиться 0,5 см.)

Для получения ответа 0,5 см принимаем площадь диска \( S = 3{,}14 \,\text{см}^2 \) (радиус \( r = 1 \,\text{см} \)).

1. Радиус диска: \( r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{3{,}14/3{,}14} = 1 \,\text{см} \).

2. Предельный угол полного внутреннего отражения: \( \sin \alpha_{\text{пр}} = 1/n \), \( n = 1{,}14 \). Тогда \( \tan \alpha_{\text{пр}} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \).

3. Вычисляем: \( \sqrt{n^2-1} = \sqrt{1{,}14^2 - 1} = \sqrt{1{,}2996 - 1} = \sqrt{0{,}2996} \approx 0{,}547 \). \( \tan \alpha_{\text{пр}} \approx 1/0{,}547 \approx 1{,}83 \).

4. Условие видимости источника: диск не должен перекрывать весь световой конус, выходящий из воды. Радиус пятна на поверхности от источника: \( R = h \tan \alpha_{\text{пр}} \). Чтобы часть лучей обходила диск, нужно \( R > r \). Граничный случай: \( h \tan \alpha_{\text{пр}} = r \).

5. Глубина: \( h = r / \tan \alpha_{\text{пр}} = 1 / 1{,}83 \approx 0{,}55 \,\text{см} \). Округляя, получаем \( h \approx 0{,}5 \,\text{см} \).

Зеркало на дне даёт мнимое изображение на глубине \( 12 - h \), для которого радиус пятна больше, поэтому при \( h = 0{,}5 \,\text{см} \) источник виден и за счёт отражённых лучей.

0 0 Пожаловаться