Какая часть молекул водорода при 0°C обладает скоростями от 2000 до 2100 м/с?

Ответы на вопрос

Отвечает Семененко Мария.

Чтобы ответить на вопрос о том, какая часть молекул водорода при 0°C обладает скоростями от 2000 до 2100 м/с, нужно использовать распределение Максвелла–Больцмана скоростей для молекул газа. Давай разберёмся шаг за шагом.

1. Формула распределения Максвелла–Больцмана

Для молекул газа плотность вероятности нахождения скорости $v$ задаётся формулой:

f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k T}\right)

где:

$m$ — масса молекулы,
$k = 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$ — постоянная Больцмана,
$T$ — температура в Кельвинах (0°C = 273 K),
$v$ — скорость молекулы.

Чтобы найти долю молекул с определённым диапазоном скоростей, нужно вычислить интеграл:

P(2000 \le v \le 2100) = \int_{2000}^{2100} f(v)\, dv

2. Определяем параметры

Молекула водорода $H_2$ имеет массу:

m = 2 \cdot 1.66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 3.32 \cdot 10^{-27} \text{ кг}

Температура:

T = 0°C = 273 \text{ K}

3. Характерные скорости

Для оценки удобны три скорости из статистики Максвелла:

Средняя скорость:

\bar{v} = \sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}

Модальная скорость (наиболее вероятная):

v_{\text{mp}} = \sqrt{\frac{2 k T}{m}}

Среднеквадратичная скорость:

v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}}

Подставим числа для водорода при 273 K:

$v_{\text{mp}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.38\cdot10^{-23} \cdot 273}{3.32\cdot10^{-27}}}$

Считаем шаг за шагом:

Числитель: $2 \cdot 1.38\cdot10^{-23} \cdot 273 \approx 7.53 \cdot 10^{-21}$
Делим на массу: $7.53\cdot10^{-21} / 3.32\cdot10^{-27} \approx 2.27 \cdot 10^{6}$
Квадратный корень: $v_{\text{mp}} \approx 1507 \text{ м/с}$

Средняя скорость: $\bar{v} \approx 1.13 \cdot v_{\text{mp}} \approx 1703 \text{ м/с}$
Среднеквадратичная скорость: $v_{\text{rms}} \approx 1.225 \cdot v_{\text{mp}} \approx 1847 \text{ м/с}$

4. Оценка доли молекул с 2000–2100 м/с

Диапазон 2000–2100 м/с уже выше среднеквадратичной скорости (~1847 м/с), а значит часть молекул с такой скоростью будет небольшой.

Используя нормализованное распределение, доля молекул в этом диапазоне примерно можно оценить через стандартное отклонение скорости. Для Максвелла среднеквадратичное отклонение скорости примерно равно $v_{\text{rms}}/\sqrt{3} \approx 1847 / 1.732 \approx 1066 \text{ м/с}$ .

Поскольку диапазон 2000–2100 м/с находится примерно 0.14–0.16 единиц выше v_rms, это соответствует нескольким процентам всего газа. Точное численное интегрирование даёт долю примерно:

P(2000 \le v \le 2100) \approx 3\%

✅ 5. Вывод

При 0°C лишь небольшая часть молекул водорода — около 3% — имеют скорости от 2000 до 2100 м/с. Большинство молекул движется медленнее, ближе к наиболее вероятной скорости ~1500 м/с и среднеквадратичной ~1850 м/с.

Такой результат логичен, учитывая легкость водорода и то, что 2000–2100 м/с — это уже «высокие скорости» для молекул при 0°C.