Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 15 об/мин. На краю

Ответы на вопрос

Отвечает Ляшенко Валерия.

Давай разберём задачу шаг за шагом. Мы имеем классическую задачу на сохранение момента импульса.

Частота вращения платформы с человеком на краю: $f_1 = 15 \text{ об/мин}$
Частота вращения после перехода человека в центр: $f_2 = 25 \text{ об/мин}$
Масса человека: $m = 70 \text{ кг}$
Радиус платформы: обозначим $R$ (нужен для вычислений, будем считать, что человек стоял на краю)
Нужно найти массу платформы $M$
Момент инерции человека как материальной точки: $I_\text{ч} = m r^2$
Момент инерции платформы: $I_\text{п} = \frac{1}{2} M R^2$ (для сплошного диска, вращающегося вокруг оси через центр перпендикулярно плоскости)

Момент импульса системы до и после перемещения человека сохраняется, так как отсутствуют внешние крутящие моменты:

L_\text{до} = L_\text{после}

Момент импульса до:

L_\text{до} = (I_\text{п} + I_\text{ч,край}) \omega_1

I_\text{ч,край} = m R^2

\omega_1 = 2\pi f_1 / 60 \quad \text{рад/с}

Момент импульса после (человек в центре, $r = 0$ ):

L_\text{после} = I_\text{п} \omega_2

$\omega_2 = 2\pi f_2 / 60$

Составим уравнение сохранения момента импульса:

(I_\text{п} + m R^2)\omega_1 = I_\text{п} \omega_2

Подставим $I_\text{п} = \frac{1}{2} M R^2$ :

\left(\frac{1}{2} M R^2 + m R^2 \right)\omega_1 = \frac{1}{2} M R^2 \, \omega_2

Вынесем $R^2$ за скобки:

\left(\frac{1}{2} M + m \right) \omega_1 = \frac{1}{2} M \, \omega_2

Переносим все члены с $M$ в одну сторону:

\frac{1}{2} M \omega_1 + m \omega_1 = \frac{1}{2} M \omega_2

m \omega_1 = \frac{1}{2} M (\omega_2 - \omega_1)

M = \frac{2 m \omega_1}{\omega_2 - \omega_1}

\omega = 2 \pi f / 60

\omega_1 = 2 \pi \cdot 15 / 60 = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}

\omega_2 = 2 \pi \cdot 25 / 60 = \frac{5\pi}{6} \text{ рад/с}

Ответы на вопрос