Поезд трогается, а провожающие неподвижно стоят на перроне. Может ли пассажир какое-то время оставаться неподвижным относительно них? Если да, то что он должен для этого сделать?

Да, пассажир может какое-то время оставаться неподвижным относительно провожающих, но только в одном случае — если он будет двигаться внутри вагона в сторону, противоположную движению поезда, с такой же скоростью, с какой поезд движется относительно перрона.

Например, если поезд начинает двигаться вперёд со скоростью 5 м/с, а пассажир идёт внутри вагона назад (к хвосту поезда) со скоростью 5 м/с относительно вагона, то его скорость относительно перрона будет равна нулю. В результате для людей на перроне он будет казаться неподвижным, хотя сам поезд и вагон под ним продолжают двигаться.

Это объясняется сложением скоростей: скорость пассажира относительно земли равна сумме скорости поезда относительно земли и скорости пассажира относительно поезда. Если эти скорости направлены в разные стороны и равны по величине, они компенсируются.

Однако такое возможно только некоторое время, пока пассажир сохраняет нужную скорость движения внутри вагона. Как только он остановится относительно вагона или изменит скорость, он снова начнёт двигаться относительно провожающих.