Маленький шарик, подвешенный на нити длиной 1 м, отклоняют от равновесия так, что нить составляет с вертикалью 90 градусов, и отпускают без начальной скорости. Когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается. Какой угол составляет с вертикалью скорость шарика в момент падения на пол, если расстояние от точки подвеса до пола 2,5 м?

Напишите решение в общем виде.

Дано:

• $l=1$ м — длина нити;

• $H=2{,}5$ м — расстояние от точки подвеса до пола;

• $\alpha_0=90^\circ$ — начальный угол отклонения нити от вертикали;

• $v_{\text{нач}}=0$ — начальная скорость шарика;

• $g$ — ускорение свободного падения.

Найти: угол $\alpha$, который составляет скорость шарика с вертикалью в момент удара о пол.

Решение в общем виде

1. Найдём скорость шарика в момент обрыва нити.

Когда шарик отпускают из положения, в котором нить горизонтальна, он начинает двигаться вниз по дуге окружности.

В момент прохождения положения равновесия шарик опускается на высоту $l$.

По закону сохранения механической энергии:

Сокращая массу $m$, получаем:

В нижней точке траектории скорость направлена горизонтально, так как она направлена по касательной к окружности.

2. Рассмотрим движение шарика после обрыва нити.

После обрыва нити шарик движется как тело, брошенное горизонтально с высоты

Горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной:

Начальная вертикальная составляющая скорости равна нулю. Поэтому при падении с высоты $h$:

Подставляя $h=H-l$, получаем:

Здесь $v_y$ — модуль вертикальной составляющей скорости непосредственно перед ударом о пол.

3. Найдём угол между скоростью шарика и вертикалью.

В момент падения на пол скорость шарика имеет две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$.

Поскольку угол $\alpha$ отсчитывается от вертикали, его тангенс равен:

Подставим найденные выражения:

Сокращая одинаковые множители, получаем:

Отсюда общая формула для искомого угла:

Подстановка числовых значений

При $l=1$