Реактивный самолёт набирает скорость от 200 м/с до 500 м/с, при этом теряя тонну топлива. Если масса самолёта без топлива равна 20 т, то какова скорость истечения газа?

Ответ: скорость истечения газа составляет приблизительно 6000 м/с (6 км/с).

Решим задачу, используя закон сохранения импульса и принцип реактивного движения.

Дано:

• Начальная скорость самолёта: $v_1=200$ м/с.

• Конечная скорость самолёта: $v_2=500$ м/с.

• Масса самолёта без топлива: $M=20$ т = $20\,000$ кг.

• Масса израсходованного топлива: $m=1$ т = $1000$ кг.

• Скорость истечения газа: $u$ — найти.

Решение

1. Найдём изменение скорости самолёта.

Самолёт увеличил свою скорость с 200 до 500 м/с:

2. Применим закон сохранения импульса.

При выбрасывании газов назад самолёт получает импульс, направленный вперёд. В приближении, когда изменение массы самолёта мало по сравнению с его массой, можно записать:

где $u$ — скорость истечения газов относительно самолёта.

Выразим искомую скорость:

3. Подставим числовые значения.

Уточнение

Поскольку самолёт расходует топливо, его масса постепенно уменьшается. Если предположить, что первоначально в самолёте была ровно 1 тонна топлива, а после разгона оно полностью израсходовано, можно использовать более точную формулу Циолковского:

где $M_1=21$ т, $M_2=20$ т.

Тогда:

Это значение немного отличается от приближённого результата. Если же в самолёте осталось топливо, для точного расчёта потребуется знать его количество.

Итоговый ответ

В рамках упрощённого решения школьной задачи скорость истечения газов равна 6000 м/с, или 6 км/с.

При точном учёте изменения массы и условии полного расходования первоначальной тонны топлива скорость составляет примерно 6150 м/с. Оба результата получены без учёта сопротивления воздуха и поступления воздуха в двигатель.