Как пишеться соседний или соседней ?

Правильно — «пишется».
А по сути вопроса: верны оба варианта — «сосе́дний» и «сосе́дней». Это формы одного и того же прилагательного, просто в разных родах/падежах. Выбор зависит от слова, которое вы определяете.

Когда «соседний»
М. р., ед. ч., именительный (и винительный для неодуш.):

• соседний дом

• соседний подъезд
  Также встречается в др. падежах м. р.: нет соседнего дома, к соседнему дому, о соседнем доме.

Когда «соседней»
Ж. р., ед. ч. — это форма родительного, дательного, творительного и предложного падежей:

• Р.: у соседней квартиры

• Д.: к соседней остановке

• Тв.: с соседней улицей

• Пр.: о соседней теме, в соседней комнате

Для полноты — как склоняется «соседний» (основные формы):

• м. р. ед. ч.: соседний, соседнего, соседнему, соседним, (о) соседнем

• ж. р. ед. ч.: соседняя, соседней, соседней, соседнюю, соседней, (о) соседней

• ср. р. ед. ч.: соседнее, соседнего, соседнему, соседним, (о) соседнем

• мн. ч.: соседние, соседних, соседним, соседние/соседних (по одуш.), соседними, (о) соседних

Итого: пишем «соседний», если определяем существительное мужского рода (или нужная форма склонения м. р.); «соседней» — если существительное женского рода в соответствующем падеже.