Собрал большой список слов с чередованием корней -бир- / -бер- / -бор- (имею в виду значения «собирать/выбирать/подбирать», а не омонимы вроде бор «сосновый лес» или забор «ограда»).

-бир-

• собирать, собираться, собирание, собираемый, собираемость

• собиратель, собирательница, собирательный, собирательство

• выбирать, выбираться, выбираемый

• избиратель, избирательница, избиратели, избирательный, избирательность

• набирать, набираться, набираемый, набиратель, набирание

• подбирать, подбираться, подбираемый

• перебирать, перебираться, перебирание

• отбирать, отбираться, отбираемый

• забирать, забираться

• прибирать, прибираться, прибирание

• добирать, добираться

• разбирать, разбираться, разбираемый, разбирательство, разбирательный

• убирать, убираться, убирание

-бер- (формы тех же глаголов без суффикса -а-)

• соберу, соберёшь, соберёт, соберём, соберёте, соберут; соберётся

• выберу, выберешь, выберет, выберем, выберете, выберут

• наберу, наберёшь, наберёт, наберём, наберёте, наберут; наберётся

• подберу, подберёшь, подберёт, подберём, подберёте, подберут

• отберу, отберёшь, отберёт, отберём, отберёте, отберут

• разберу, разберёшь, разберёт, разберём, разберёте, разберут; разберётся

• переберу, переберёшь, переберёт, переберём, переберёте, переберут

• доберу, доберёшься, доберётся, доберёмся, доберутся

• заберу, заберёшь, заберёт, заберём, заберёте, заберут

• приберу, приберёшь, приберёт, приберём, приберёте, приберут

-бор- (существительные/прилагательные и производные)

• сбор, сборка, сборщик, сборщица, сборочный, сборный, сборная, сборник, сборище

• выбор, выборка, выборщик, выборный, выборность, выборочный, выборочно

• набор, наборщик, наборщица, наборный

• подбор, подборка, подборщик, подборный

• отбор, отборка, отборочный

• разбор, разборка, разборщик, разборный, разборчивый, неразборчивый, разборчивость

• перебор, переборка, переборщик, переборчивый, переборчивость

• добор, доборка

• прибор, приборка, приборный, приборист

• уборка, уборщик, уборщица, уборочный

Если нужно ещё расширять, можно добавить редкие или специализированные формы (профессионализмы, канцеляризмы, разговорные варианты) от тех же гнёзд.

Это один и тот же корень со значением «брать, собирать» (бир/бер/бор). Ниже — большая подборка слов, сгруппированная по написанию корня. Не путайте с другими «бор-» типа бороться, борода, бор (лес), борт — это другие корни.

С корнем -бир- (обычно перед суффиксом -а-)

собирать, собираться, собиратель, собирательница, собирательство, собирательный,
забирать, забираться, добирать, добираться, подбирать, подбираться, отбирать, отбираться,
перебирать, перебираться, разбирать, разбираться, выбирать, выбираться, избирать, избираться,
набирать, набираться, прибира́ть, прибираться, убирать, убираться,
собирательно, собирание, разбирание, перебиранье, выбирание, отбирание, набирание, прибирание, убирание,
избиратель, избирательница, избирательный, избирательность, избирание.

С корнем -бер- (когда -а- нет; чаще в формах слов)

(приведу словоформы, где корень слышится как бер-): соберу, соберёшь, соберёт, соберём, соберут;
выберу, выберешь, выберет, выберем, выберут; наберу, наберёт, наберут;
подберу, подберёт; отберу, отберёт; разберу, разберёт, разберусь;
уберу, уберёт; доберу, доберусь; приберу, приберёт; переберу, переберёт.

С корнем -бор- (чаще в существительных/прилагательных от тех же глаголов)

сбор, сборка, сборщик, сборочный, сборный, сборная (команда), сборник, сборище, собранность, собранный,
разбор, разборка, разборщик, разборный, разборчивый, разборчивость,
перебор, переборка, переборчивый, переборчивость,
подбор, подборка, подборщик, подборный (материал), подобранный,
отбор, отборка, отборный, отобранный,
набор, наборка (текста), наборщик, наборный, набранный,
выбор, выборка, выборочный, выборный (должность), выбранный, выборность,
изборник (ист.),
добор, недобор, сверхнабор (спец.),
убор, уборка, уборочный, уборочная (страда), убористый, убористость, убранство, убранный,
приборка (квартиры), прибранный, прибор (столовый, измерительный), приборный, приборист, приборостроение, приборостроитель,
забор (крови/воды/проб — «взятие»), заборный (клапан, узел, труба).

Если нужно ещё, можно продолжать через приставки и суффиксы от тех же основ: бессистемный перебор, разборочка, подборочка, сверхотборный, сборничек и т. п.