Как пишется "покатились"?

Правильно: покатились — слитно.

Это глагол прошедшего времени, мн. числа, совершенного вида от покатиться (приставка по- + корень кат- + суффикс прошедшего времени -ли- + постфикс -сь). Приставка по- с глаголами пишется слитно; дефис и раздельное написание не используются. Ударение: покатИлись.

Примеры:
Колёса покатились по дороге.
Слёзы покатились по щекам.

Правильно: покатились — слитно и с буквой а в корне (кат-).

Почему так:

• Это форма прошедшего времени множественного числа от глагола покатиться (сов. вид, возвратный): они покатились.

• Разбор: по- (приставка) + кат (корень) + -и- (суффикс) + -л- (суффикс прош. вр.) + -и (окончание мн. ч.) + -сь (постфикс возвратности).

• Пишется слитно, потому что по- — приставка, а не предлог. Вариант «по катились» — ошибка.

• Ударение: покатились.

Примеры:

• Яблоки покатились с горы.

• Колёса покатились по дороге.

Для сравнения: катятся (наст./буд.) пишется с -тся, катиться (инф.) — с -ться, а в прошедшем множественном — покатились.