Как правильно писать: "сычом" или "сычём"?

Правильный вариант написания — "сычём".

Это слово образовано от существительного "сыч" (птица) и употребляется в форме творительного падежа единственного числа. В русском языке в творительном падеже существительные, оканчивающиеся на мягкий знак или твёрдый согласный, часто изменяются с добавлением "ё" в место "е".

Примеры:

• Я видел сычём в лесу.

• Он говорил с сычом о том, как лучше ловить мышей.

Таким образом, в данной ситуации правильным будет именно "сычём".