как писать: никуда не выходить — слитно или раздельно?

Правильно: «никуда не выходить».

Почему так:

• никуда — это местоимённое наречие с приставкой ни-; такие слова пишутся слитно: никогда, нигде, никуда.

• не выходить — частица не с глаголами пишется раздельно (если глагол существует без «не» и нет приставки недо-): не идти, не писать, не выходить.

Примеры:
Лучше сегодня никуда не выходить. / Он попросил никуда не выходить до вечера.

Не путайте с некуда (‘нет места, куда’): нам некуда идти, но: мы решили никуда не выходить (то есть «вовсе никуда»).