Какая часть речи слово "утром"?

Коротко: чаще всего «утром» — это наречие (‘когда?’), но в ряде контекстов это существительное в форме творительного падежа («утро» — Т.п. ед. ч.), употреблённое обстоятельственно.

Как различить:

• Наречие — когда слово стоит без зависимых слов и называет время действия.
  Примеры: «Мы приедем утром», «Утром похолодало». Здесь оно неизменяемо и отвечает на вопрос «когда?».

• Существительное (Т.п.) — когда к слову можно поставить определение/уточнение, которое с ним согласуется.
  Примеры: «Ранним утром поезда не ходят», «Этим утром шёл дождь», «Туманным утром всё серо». Если определение появляется, перед нами уже форма существительного «утро» (Т.п.), а не наречие.

Проверка простая: попробуйте добавить согласуемое слово («каким?») — ранним/тем/пасмурным утром. Если добавляется и всё грамматически согласуется, это существительное; если добавить нечего, слово функционирует как наречие.