Вдруг и друг - это однокоренные слова?

Короткий ответ: нет, в современном языке «вдруг» и «друг» не считаются однокоренными.

Развернуто. В школьной (синхронной) морфологии слова признаются однокоренными, если у них совпадает корень и есть общность значения. У «вдруг» значение ‘внезапно, сразу’, у «друг» — ‘товарищ, приятель’. Общего смыслового компонента между ними нет. Кроме того, «вдруг» в современных разборниках обычно рассматривают как непроизводное наречие (его не делят на приставку «в-» и корень «-друг-»), поэтому формальное совпадение букв «-друг-» ничего не доказывает.

Историческая ремарка. Слово «вдруг» восходит к сочетанию со значением ‘вместе, разом, один с другим’ и семантически связано со словом «другой» (ср. «друг с другом»), а не с «друг» в значении ‘приятель’. Этимологически «другой» и «друг» действительно восходят к одному праславянскому корню, но в современном языке эти связи разошлись: «вдруг» употребляется как цельное наречие со значением ‘внезапно’ и не образует с «друг» словообразовательного гнезда.

Итог: для целей современного словообразовательного анализа «вдруг» и «друг» — не однокоренные.