Почему в слове "витамин" пишется буква "и"?

Коротко: потому что слово заимствовано и образовано с русским суффиксом «-ин» для названий веществ.

Подробно. «Витамин» — международный термин, восходящий к лат. vita ‘жизнь’ + англ./нем. amine ‘амин’ (так сначала думали, что это аминовые соединения). Первоначальная форма в европейских языках была vitamine, затем конечную «e» отбросили — получился vitamin. В русском прижилась форма «витамин» по продуктивной модели наименований химических веществ с суффиксом «-ин»: бензин, никотин, кофеин, меланин и т. п. Именно этот суффикс и даёт написание буквы «и» в конце основы: витамин.

Дополнительно: первая «и» в слоге «ви-» — результат передачи латинского корня vita в русской фонетике («ви-»), а вторая «и» — та самая суффиксальная «-ин», характерная для названий веществ. Поэтому в слове «витамин» пишется «и».