Как пишется НЕ (слитно или раздельно) в данном предложении: Гнезда корней, топорщились сучьями с (не)облетевшей еще желтой хвоей. И почему? "Еще" здесь является зависимым словом от причастия "не облетевшей"?

Пишется раздельно: с не облетевшей еще жёлтой хвоей.

Почему раздельно. Перед нами полное причастие облетевшей с зависимым словом ещё (оно уточняет время/стадию действия: «пока ещё не облетевшей»). По правилу: с полными причастиями не пишется раздельно, если у причастия есть зависимые слова (не прочитанная мной книга; не сделанная вовремя работа). Здесь зависимое слово — ещё, поэтому: не облетевшей.

Если убрать зависимое слово, было бы слитно: с необлетевшей жёлтой хвоей (т.к. причастие без зависимых слов сближается с прилагательным и пишется с не слитно).

Да, «ещё» в вашем примере — это именно зависимое слово при причастии (не)облетевшей. Оно относится не к «жёлтой хвоей», а к действию «облететь» и обозначает, что действие ещё не совершилось.