1) Больной попросил сестру налить ему воды. 2) Хозяйка сняла со стола чемодан и отодвинула его в сторону. 3) Первое выступление артистки принесло ей большой успех, и от неё можно ждать многого. 4) Молодая мать любовалась ребёнком, играющим у её ног. 5) Республика будет вести независимую политику, не прогибая ни перед кем спину и защищая свои интересы. 6) Все обрадовались их предложению.

В первом предложении "Больной попросил сестру налить ему воды" есть прямое дополнение "сестру" — это лицо, к которому направлено действие, а также инфинитив "налить", который выражает саму просьбу. В данном случае фраза "сестру налить" демонстрирует, что сестра является объектом просьбы, а не субъектом действия.

Во втором предложении "Хозяйка сняла со стола чемодан и отодвинула его в сторону" дополнение "чемодан" является прямым объектом глагола "сняла", а "его" — объектом глагола "отодвинула". Это означает, что хозяйка сначала сняла чемодан со стола, а затем отодвинула его в сторону.

В третьем предложении "Первое выступление артистки принесло ей большой успех, и от неё можно ждать многого" объектом действия является "выступление", которое принесло успех. "Ей" в данном случае — это косвенное дополнение, указывающее на того, кто получает результат. Также здесь используются деепричастные обороты, где сказано, что от артистки можно ожидать многого.

В четвертом предложении "Молодая мать любовалась ребёнком, играющим у её ног" "ребёнком" является дополнением к глаголу "любовалась", а "играющим" — деепричастием, которое указывает на действие, происходящее одновременно с любованием.

В пятом предложении "Республика будет вести независимую политику, не прогибая ни перед кем спину и защищая свои интересы" есть деепричастные обороты "не прогибая" и "защищая", которые поясняют, как республика будет вести свою политику, то есть она будет делать это, не поддаваясь внешнему давлению и защищая свои интересы.

В шестом предложении "Все обрадовались их предложению" "предложению" является дополнением к глаголу "обрадовались", указывающим, по какому поводу возникла радость.