Исследовать функцию y=x^2-6x+5

Функция $y = x^2 - 6x + 5$ является квадратичной функцией, так как её степень равна 2, и её график — парабола. Рассмотрим основные аспекты этой функции.

1. Стандартная форма уравнения:
   Функция представлена в виде $y = ax^2 + bx + c$, где:

   • $a = 1$ — коэффициент при $x^2$,

   • $b = -6$ — коэффициент при $x$,

   • $c = 5$ — свободный член.

   Коэффициент $a > 0$, поэтому парабола открывается вверх.

2. Вершина параболы:
   Для нахождения вершины используем формулу для координаты $x$-вершины квадратичной функции:

   $$x_{\text{вершины}} = \frac{-b}{2a}.$$

   Подставляем значения $b = -6$ и $a = 1$:

   $$x_{\text{вершины}} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3.$$

   Чтобы найти $y_{\text{вершины}}$, подставляем $x = 3$ в исходную функцию:

   $$y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.$$

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -4)$.

3. Ось симметрии:
   Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. Уравнение этой прямой:

   $$x = 3.$$

4. Нули функции (корни):
   Чтобы найти корни функции, решим уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
   Дискриминант для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac.$$

   Подставляем значения $a = 1$, $b = -6$ и $c = 5$:

   $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.$$

   Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня. Находим их по формуле:

   $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

   Подставляем значения:

   $$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}.$$

   Таким образом, корни функции:

   $$x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1.$$

   То есть функция имеет два корня: $x = 1$ и $x = 5$.

5. Интервал, на котором функция возрастает или убывает:
   Так как парабола открывается вверх (коэффициент $a > 0$), функция убывает на интервале $(-\infty, 3)$ и возрастает на интервале $(3, +\infty)$.

6. Нахождение значений функции:
   Мы уже вычислили, что при $x = 3$ функция принимает минимальное значение $y = -4$. Для других значений $x$ функция будет больше, например:

   • при $x = 0$, $y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$,

   • при $x = 2$, $y = 2^2 - 6 \cdot 2 + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$,

   • при $x = 4$, $y = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$