Исследуйте функцию f и постройте её график f(x)=x4+x2 (4 и 2 это степень)

Функция, которую необходимо исследовать, выглядит следующим образом:

$f(x) = x^4 + x^2$

1. Анализ функции

a. Поведение на больших и малых x:

• При $x \to \infty$ или $x \to -\infty$ функция $f(x)$ растет очень быстро, поскольку степень 4 в $x^4$ преобладает над степенью 2 в $x^2$. То есть при больших значениях $x$ $f(x)$ будет стремиться к бесконечности как для положительных, так и для отрицательных $x$.

• При $x = 0$, $f(0) = 0^4 + 0^2 = 0$.

b. Производная функции:

Для того чтобы найти критические точки и анализировать поведение функции на интервалах, найдем производную функции $f(x)$:

Теперь решим $f'(x) = 0$ для поиска критических точек:

Из этого уравнения получаем:

• $x = 0$ (корень первого множителя).

• $2x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных решений, так как дискриминант отрицателен.

Таким образом, единственная критическая точка — это $x = 0$.

c. Поведение функции в окрестности критической точки:

Для анализа, является ли точка экстремумом, вычислим вторую производную:

При $x = 0$ получаем:

Поскольку вторая производная положительна, $x = 0$ — это минимум функции.

2. График функции

• Функция симметрична относительно оси $y$, так как степень $x^4$ и $x^2$ чётные.

• График будет иметь минимум в точке $x = 0$, где значение функции равно 0.

• Для больших значений $x$ график будет стремиться к бесконечности, как положительный, так и отрицательный, так как $x^4$ и $x^2$ всегда положительные для всех $x$.

Таким образом, график функции будет "U"-образным, с минимумом в точке $x = 0$, и будет расти по мере увеличения $|x|$.