1. В детстве он охотно читал Жюля Верна. 2. Театр поставил новую пьесу Жан-Поля Сартра. 3. Сказки Ганса Христиана Андерсена любят дети всего мира. 4. Взгляды философов обратились к Августу Шлегелю. 5. Это письмо было написано американской девочкой Самантой Смит. 6. Декларация была подписана Робертом Смитом. 7. Заседание состоялось на кафедре у профессора Гордейчука. 8. Эти книги прислали для студентки Гаврилюк. 9. Артист исполнил прекрасные сонеты Петрарки. 10. На концерте прозвучали произведения Майбороды. 11. Эти сказки написали братья Гримм. 12. Новое произведение Генриха и Томаса Маннов было выпущено небольшим тиражом. 13. Франклин и Элеонора Рузвельт посетили концерт известного певца. 14. Супруги Клинтон прибыли на отдых в Калифорнию. 15. Муж и жена Робсон совершили путешествие на яхте около западного побережья.

Во всех приведённых предложениях употребление имён и фамилий нормальное, кроме одного случая — предложения № 12. Разберём по порядку, почему так, и что именно нужно исправить.

1. В детстве он охотно читал Жюля Верна.
Форма «Жюля Верна» — правильное склонение имени и фамилии французского писателя Жюля Верна (род./вин. падеж).

2. Театр поставил новую пьесу Жан-Поля Сартра.
Имя и фамилия склоняются, что верно для мужской иностранной фамилии на согласный:

• Жан-Поль Сартр — пьеса Жан-Поля Сартра.

3. Сказки Ганса Христиана Андерсена любят дети всего мира.
Форма «Ганса Христиана Андерсена» — корректное склонение полного имени и фамилии.

4. Взгляды философов обратились к Августу Шлегелю.
Дательный падеж: «к Августу Шлегелю» — тоже правильно: мужская фамилия на согласный склоняется.

5. Это письмо было написано американской девочкой Самантой Смит.
Имя «Саманта» склоняется (Самантой), а фамилия «Смит» — женская иностранная фамилия на согласный — в письменной норме обычно не изменяется.
Фраза «Самантой Смит» выглядит правильно: меняется только имя, форма фамилии внешне остаётся такой же.

6. Декларация была подписана Робертом Смитом.
Мужская фамилия на согласный склоняется:

• Роберт Смит — Робертом Смитом.
  Ошибки нет.

7. Заседание состоялось на кафедре у профессора Гордейчука.
Фамилия Гордейчук — славянская на согласный, у мужчины склоняется:

• профессор Гордейчук — у профессора Гордейчука.
  Всё верно.

8. Эти книги прислали для студентки Гаврилюк.
Фамилии славянского происхождения типа Гаврилюк у женщин обычно не склоняются:

• студентка Гаврилюк — для студентки Гаврилюк.
  Предложение правильное.

9. Артист исполнил прекрасные сонеты Петрарки.
Фамилия Петрарка склоняется:

• сонеты кого? — Петрарки.
  Норма соблюдена.

10. На концерте прозвучали произведения Майбороды.
Фамилия Майборода (украинского происхождения) у мужчины склоняется:

• произведения кого? — Майбороды.
  Форма корректная.

11. Эти сказки написали братья Гримм.
Сочетание «братья Гримм» — устоявшееся: фамилия в таком случае чаще употребляется в форме единственного числа после слова «братья».
То есть «братья Гримм» — это нормативный вариант.

12. Новое произведение Генриха и Томаса Маннов было выпущено небольшим тиражом. — Здесь ошибка

Здесь проблема как раз в фамилии:

• Имена: Генрих и Томас — братья Манн.

• Фамилия в русском языке обычно употребляется в форме единственного числа, если она относится к нескольким людям, имена которых уже названы:
  правильно: «произведение Генриха и Томаса Манна»,
  а не «Маннов».

То есть нужно написать:

Новое произведение Генриха и Томаса Манна было выпущено небольшим тиражом.

Форма «Маннов» воспринимается как избыточная и нарушает сложившуюся литературную норму.

13. Франклин и Элеонора Рузвельт посетили концерт известного певца.
Когда называются имена обоих супругов, фамилия часто остаётся в форме единственного числа:

• Франклин и Элеонора Рузвельт.

Вариант с множественным числом (Рузвельты) возможен в иных конструкциях, например:

• Супруги Рузвельты посетили концерт.

Но в данном варианте всё грамматически верно.

14. Супруги Клинтон прибыли на отдых в Калифорнию.
Для иностранных фамилий на согласный в сочетании «супруги + фамилия» норма допускает форму фамилии без изменения:

• супруги Клинтон.

Вариант «супруги Клинтоны» тоже встречается, но выглядит менее естественным. Данное предложение можно считать правильным.

15. Муж и жена Робсон совершили путешествие на яхте около западного побережья.
Конструкция по смыслу равна «супруги Робсон». По аналогии с предыдущим примером и с иностранными фамилиями на согласный форма «Робсон» в единственном числе после обобщающего «муж и жена» выглядит допустимой и естественной:

• муж и жена Робсон;

• супруги Робсон.

Форма «Робсоны» теоретически возможна, но в живой речи употребляется гораздо реже и часто воспринимается как тяжеловесная, поэтому исходный вариант вполне нормален.

Итог:
Исправления требует только предложение № 12:
нужно «Генриха и Томаса Манна», а не «Маннов». Все остальные предложения с именами и фамилиями можно признать правильными.