Я нашла такое объяснение правописания слова «молоток»: «Чтобы проверить первую безударную гласную в корне "молот" слова "молоток", нужно подобрать проверочное слово. Для данного корня таким словом является "молот". Так как в нём гласная "о" стоит под ударением, то следовательно в слове "молоток" тоже пишется буква "о". Вторую безударную гласную "о" проверить нельзя, поэтому её следует запомнить.» «Молоток - это словарное слово. Его нельзя проверить.» Также в Этимологическом онлайн-словаре русского языка Крылова Г. А. написано: Происхождение слова молот Мо́лот. Общеславянское слово, восходящее к той же основе, что и молоть. Первоначально — «то, чем измельчают». Родственные слова мельница, молотить. мо́лот, молото́к. Исходя из этимологии слова молот, можно сделать вывод, что вторую гласную «о» можно проверить с помощью слов: молóть, молóтит. А если все гласные в слове можно проверить, то его уже нельзя считать словарным словом. Подскажите, пожалуйста, правильно ли я это понимаю?

Коротко: первую безударную «о» в корне МОLOT- в слове «молоток» мы проверяем словом «мо́лот», а вот вторую «о» — нет, она остаётся непроверяемой и её нужно запомнить. Привязка к «моло́ть, молоти́ть» для проверки здесь не принимается.

Почему так:

1. В школьной орфографии проверочное слово подбирают среди однокоренных слов и форм того же слова в современном языке, где та же гласная в том же корне оказывается под ударением. Историческое родство (по этимологии) не считается достаточным критерием.

2. В «молоток» корень молот-, суффикс -ок. Ударение: молотóк.
   — Первая «о» проверяется: мо́лот (здесь первая «о» под ударением).
   — Вторая «о» (в слоге -ло-) в реальных родственных формах и производных под ударением не бывает: мо́лот, молотá, мо́лоты, молотóк, молотóчек, мо́лотный и т. п. Везде ударение либо на первом слоге, либо на суффиксе, поэтому «о» в слоге -ло- остаётся безударной и непроверяемой.

3. Слова «моло́ть, молоти́ть» исторически родственны «мо́лоту» (общее праславянское происхождение), но в современной словообразовательной системе это разные гнёзда («молот» — ‘орудие/удар’, «молотить/молоть» — ‘измельчать, обмолачивать’). Для проверки орфограммы опираться на эту этимологическую связь нельзя: нужна форма/слово из того же современного гнезда, где нужная гласная корня окажется ударной. «Молотить» такой позиции не даёт (там ударение на -ить, а во втором слоге «молот-» ударения всё равно нет).

Итог: Ваше рассуждение про этимологию верно как историческая справка, но для орфографической проверки оно не работает. В «молоток» первая «о» — проверяемая (мо́лот), вторая «о» — непроверяемая, её написание принято запоминать; поэтому слово относится к числу слов с непроверяемой гласной в корне.