.Почему в слове клюёт звук Л мягкий ПАРНЫЙ.

Потому что в слове клюёт буква ю стоит после л и обозначает не [йу], а «смягчённый» вариант гласного, который делает предыдущий согласный мягким. В русской орфоэпии гласные е, ё, ю, я, и после согласных указывают на их мягкость. Поэтому л → [л’]: [к-л’у-йо́т].

Звук [л] вообще парный по твёрдости–мягкости: у него есть твёрдая пара [л] (как в пол) и мягкая [л’] (как в люк). В «клюёт» реализуется мягкий вариант, потому что после л стоит «ю».