Как пишется (по)прежнему

Правильно: по-прежнему — через дефис.

Почему так: это наречие, образованное от прилагательного «прежний» с приставкой по- и суффиксом -ему. По правилу такие наречия пишутся через дефис: по-новому, по-старому, по-русски, по-моему, по-твоему, по-прежнему.

Проверка смысла: если слово можно заменить на «как раньше/по-старому» — это наречие, пишем через дефис.
Примеры:

• «Он по-прежнему молчит» (= как раньше).

• «Дела идут по-прежнему плохо».

Когда раздельно: если это предлог по + прилагательное прежнему при существительном — пишем отдельно.
Примеры:

• «Письмо пришло по прежнему адресу».

• «Вернулись по прежней дороге».

Итого: значение «как раньше» — по-прежнему; с существительным после — по прежнему … (раздельно).