Как проверить букву Е в слове "будЕшь"? Как проверить Ь в словах "старатЬся" и "удастЬся"? Как проверить букву Е в слове "лопочЕт"? Как проверить букву Т в слове "счасТливо"?

Отвечу по порядку.

1) «будЕшь»
Здесь сомнение в гласной личного окончания. Проверять её нужно правилом о спряжениях, а не «подбором проверочного слова».
Глагол быть спрягается по I спряжению: я буду, ты будешь, он будет, мы будем, вы будете, они будут.
Для I спряжения во 2-м л. ед. ч. пишется окончание -ешь. Отсюда верно: будешь (с е).

2) «старатЬся» и «удастЬся» (мягкий знак перед -ся/-сь)
Здесь действует одно правило:
— В инфинитиве, а также в формах 2-го л. ед. ч. и повелительного наклонения перед -ся/-сь пишется Ь: стараться, учиться, сомневаться; не бойся, моешься.
— В формах 3-го лица (ед. и мн. числа) пишется -тся без мягкого знака: учится, сомневается, удастся.

Отсюда:
• стараться — это инфинитив, значит -ться с мягким знаком: стараться. Проверка простая: задаём вопрос что делать? — значит инфинитив, пишем -ться.
• удастся — это 3-е лицо будущеe время (что сделает? — удастся), следовательно -тся без мягкого знака: удастся. Проверка: поменяйте форму на инфинитив — удаться (там будет -ться), а в исходной форме — -тся.

3) «лопочЕт»
Сомнение опять в гласной личного окончания. Глагол лопотать относится к I спряжению (типичное -ать). У I спряжения в 3-м л. ед. ч. пишется окончание -ет: он лопочет. Можно сверить по ряду: я лопочу, ты лопочешь, он лопочет, мы лопочем, вы лопочете, они лопочут. Значит верно: лопочет (с е).

4) «счасТливо»
Буква т здесь плохо слышится (произношение [сча́сливо]), но на письме она сохраняется по однокоренным формам, где слышна/очевидна: счастье, счастливец. То есть проверяем подбором однокоренных слов: в счастье «т» есть и слышится, поэтому пишем счастливо с т.