1) На обоих берегах реки раскинулись леса. 2) Каждый уговаривает почётного гостя поехать к нему. 3) Тургенев приводит героя к осознанию своих ошибок. 4) Донское казачество разъехалось по своим хуторам, они больше не хотели воевать. 5) Профессор предложил ассистенту прочитать его лекцию. 6) Хозяйка сняла чемодан и отодвинула его в сторону. 7) Проверить все данные опытов и описать их оказалось невозможным. 8) Собранный урожай отправляется в разные уголки страны. 9) По совету врача больной полощет горло раствором соды. 10) Я убежу всех в правильности моего решения.

Ошибки — в предложениях 2, 3, 4, 5. Объясню почему и как исправить.

2) Каждый уговаривает почётного гостя поехать к нему.
Местоимение «к нему» двусмысленно (к кому именно?). Нужно «к себе»:
→ Каждый уговаривает почётного гостя поехать к себе.

3) Тургенев приводит героя к осознанию своих ошибок.
Местоимение «свой» относится к подлежащему («Тургенев»), выходит, что это ошибки Тургенева. А речь об ошибках героя.
→ Тургенев приводит героя к осознанию его ошибок.

4) Донское казачество разъехалось по своим хуторам, они больше не хотели воевать.
Нарушена соотнесённость: «казачество» — единственное число, дальше внезапно «они». Либо сохраняем единственное, либо меняем подлежащее на «казаки».
→ Донское казачество разъехалось по своим хуторам, оно больше не хотело воевать.
или: Казаки разъехались по своим хуторам, они больше не хотели воевать.

5) Профессор предложил ассистенту прочитать его лекцию.
«Его» двусмысленно (лекцию профессора или ассистента?). Если имеется в виду лекция профессора, нужно «свою».
→ Профессор предложил ассистенту прочитать свою лекцию.

Остальные предложения (1, 6, 7, 8, 9, 10) построены корректно с точки зрения местоимений и соотнесённости.