Согласно маршруту или маршрута

Правильно: «согласно маршруту» (дательный падеж).
Предлог «согласно» по норме управляет дательным: согласно плану, согласно приказу, согласно расписанию. Вариант «согласно маршрута» с родительным падежом считается ошибочным, это канцеляризм вне литературной нормы.

Дополнительно:

• Возможен книжный вариант «согласно с чем-либо»: согласно с маршрутом, но лучше избегать — звучит устарело; нейтральнее «в соответствии с маршрутом».

• Допустима постпозиция в официальном стиле: плану (маршруту) согласно.

• Во множественном числе: согласно правилам, согласно требованиям.