Докажи, что в этих словах не надо писать букву Т. Не чудесно, не прекрасно, а ужасно и опасно. Букву Т писать напрасно. Интересно!

Коротко: т в этих словах — лишняя. Правильно: ужасно, опасно, интересно (как и прекрасно, чудесно).

Почему так:

1. Морфемный разбор.
   Эти наречия образованы от прилагательных ужасный, опасный, интересный с суффиксом -н-:
   ужас-н-ый → ужас-н-о; опас-н-ый → опас-н-о; интерес-н-ый → интерес-н-о.
   Ни в корне (ужас-, опас-, интерес-), ни в суффиксе -н- буквы т нет — значит и писать её негде.

2. Откуда берётся соблазн вставить «т».
   Есть слова типа честный, местный: там сочетание -стн- историческое (ср. честь, место), и т пишется, хотя часто не произносится. По аналогии рука тянется написать ужастный/опасный с «т». Но это другая модель: у ужасный/опасный/интересный никакой -т- нет ни в базе, ни в суффиксе.

3. Проверка родственными словами.

   • ужас, ужасен, ужасы → нигде «т».

   • опасный, безопасный, опасен → «т» нет. (В существительном опасность «т» появляется из-за суффикса -ость, но это другое словообразование и к прилагательному «опасный» не прибавляется.)

   • интерес, интересен → тоже без «т».

Итог: писать т в ужасно, опасно, интересно — напрасно: по строению слова ей просто неоткуда взяться.