Какой падеж у местоимения "её"?

Коротко: без контекста однозначного ответа нет.

1. Если это личное местоимение «она», то форма «её» бывает:

• родительного падежа: нет её дома; боюсь её;

• винительного падежа: вижу её; позвал её.

2. Если это притяжательное местоимение со значением «чей? чья? чьё? чьи?» — «её» (в смысле её книга, её мысли) — оно не изменяется по падежам: нет её книги (Р.), к её книге (Д.), с её книгой (Т.), о её книге (П.) — форма остаётся той же.

Итого: «её» либо род./вин. падеж личного местоимения «она», либо неизменяемое притяжательное местоимение — решает контекст.