Какой падеж у этого словосочетания "При нашем приближении"?

Это предложный падеж. Предлог «при» управляет предложным падежом и отвечает на вопрос «при чём?».
Разбор:

• приближении — существительное, ср. род, ед. число, П.п. (от «приближение»);

• нашем — местоимённое прилагательное, ср. род, ед. число, П.п., согласуется с «приближении».

Смысл «при нашем приближении» — ‘во время/в момент нашего приближения’; в предложении такое сочетание обычно выступает обстоятельством времени или условия.