как правильно пишется двадцати четырёх этажный дом?

Правильно: двадцатичетырёхэтажный дом — одним словом.

Почему так: это прилагательное образовано от количественного числительного и основы «этаж-». В таких случаях все части сложного числительного пишутся слитно с последним компонентом:

• двухэтажный, трёхэтажный;

• двенадцатиэтажный;

• тридцатидвухэтажный;

• двадцатичетырёхэтажный.

Дефис и раздельное написание здесь не нужны. Если хотите обойтись без сложного прилагательного, можно сказать: «дом на двадцать четыре этажа».