Какой падеж у существительного "с радостью"?

Творительный падеж, ед. число.

Форма радостью — это творительный падеж (ж. р., 3-е склонение). Предлог «с» в значении совместности/образа действия требует творительного: «с радостью помогу» (= охотно, радостно).

Не путайте с выражением «с радости» — здесь уже родительный падеж и другое значение: причина, источник чувства («заплакал с радости» = от радости).

Для наглядности склонение радость:

• И.п.: радость

• Р.п.: радости

• Д.п.: радости

• В.п.: радость

• Т.п.: радостью ← в сочетании с радостью

• П.п.: (о) радости