1. Села и рабочие обслуживают кинопередвижки. 2. Глава администрации распределяет и управляет имуществом и финансами. 3. Началась подготовка к проведению выборов. 4. Торговый зал был очищен от людей, опасаясь, что рухнет потолок. 5. Автомашина "Форд" была похищена злоумышленниками с охраняемой стоянки. 6. Чацкий нанес решительный удар обществу, ненавидевшему инакомыслие и отстаивавшему крепостничество.

Вот что тут не так и как я бы переписал каждое предложение.

1. «Села и рабочие обслуживают кинопередвижки.»
   Ошибка: нелогичное объединение однородных подлежащих (смысловая несочетаемость: «сёла» и «рабочие» не могут вместе «обслуживать»).
   Исправления:
   — «Кинопередвижки обслуживают сёла, их обслуживают рабочие.» (развести роли)
   — или компактнее: «Рабочие обслуживают кинопередвижки, выезжающие в сёла.»

2. «Глава администрации распределяет и управляет имуществом и финансами.»
   Ошибка: при однородных сказуемых нарушено управление с общим дополнением («распределяет» требует винительный, «управляет» — творительный).
   Исправления:
   — «Глава администрации распределяет имущество и финансы и управляет ими.»
   — или: «Глава администрации распределяет имущество и финансы, а также управляет имуществом и финансами.»

3. «Началась подготовка к проведению выборов.»
   Формально грамотно, но стилистически тяжеловесно (канцелярская избыточность: «подготовка к проведению»).
   Лучше: «Началась подготовка к выборам.»

4. «Торговый зал был очищен от людей, опасаясь, что рухнет потолок.»
   Ошибка: деепричастный оборот относится не к подлежащему («зал» бояться не может).
   Исправления:
   — «Опасаясь, что рухнет потолок, сотрудников и покупателей вывели из торгового зала.»
   — или: «Торговый зал был очищен от людей, так как опасались, что может рухнуть потолок.»

5. «Автомашина „Форд“ была похищена злоумышленниками с охраняемой стоянки.»
   Формально возможно, но есть речевые шероховатости: канцелярит/пассив и избыточное «злоумышленниками».
   Лучше: «Автомобиль Ford похитили с охраняемой стоянки.»
   (Если нужен нейтральный официальный стиль: «Автомобиль Ford был похищен с охраняемой стоянки.»)

6. «Чацкий нанес решительный удар обществу, ненавидевшему инакомыслие и отстаивавшему крепостничество.»
   Предложение корректно: причастный оборот согласован с «обществу» (дат. ед.), смысл прозрачен. Можно лишь стилистически сгладить:
   — «Чацкий нанес решительный удар обществу, которое ненавидело инакомыслие и отстаивало крепостничество.» (нейтральнее по стилю)

Итого: ошибки есть в 1, 2, 4 и (как стилистика) 3 и 5; предложение 6 — грамматически верное.