Как правильно: заботиться о всех или заботиться обо всех?

Правильно: «заботиться обо всех».

Объяснение. У предлога «о» есть варианты «об» и «обо» для благозвучия:

• «об» ставится перед словами, начинающимися на гласный: об этом, об успехах, об ошибке.

• «обо» употребляется перед рядом слов с начальным сочетанием согласных (чтобы не было труднопроизносимо), в том числе перед вс-, мн-, а также с некоторыми числительными: обо всех, обо всём, обо мне, обо многих, обо двоих.

• «о» — в остальных случаях: о маме, о погоде, о друге.

Так что в вашем примере нормативная форма — «обо всех». Вариант «о всех» встречается в разговорной речи, но литературной норме не соответствует.