Какая часть речи слово "брошенная"?

«Брошенная» — это полная форма страдательного причастия прошедшего времени от глагола «бросить»: брошенная (кем?) вещь, брошенная (когда/зачем?) вчера записка. Признаки причастия здесь очевидны: образовано от глагола совершенного вида, имеет суффикс -енн-, может иметь зависимые слова (кем? когда? где?), обозначает признак по действию.

Форма «брошенная» — женский род, ед. число, полная форма (краткая была бы «брошена»).

Важно: в ряде устойчивых сочетаний слово может употребляться как качественное прилагательное (лексикализуется): брошенная жена, брошенный ребёнок — зависимых слов нет, признак понимается как постоянная характеристика. Но морфологически основа та же, от причастия.