Как правильно пишется? у моей подруге или у моей подружке?

Правильно: у моей подруги.

Почему так:

• Предлог «у» требует родительного падежа (у кого?).

• Существительное «подруга» в родительном падеже единственного числа будет «подруги»:
  у (кого?) моей подруги.

Вариант «у моей подружке» — неправильный, потому что «подружке» это форма дательного падежа (кому?):
моей подружке — это «кому?», а не «у кого?».

Если нужно именно слово «подружка», то правильно будет так же в родительном падеже:

• у моей подружки.