Отправляться во что или в чего путешествие?

Правильно: отправляться в путешествие.

Почему так:

1. Сочетание устойчивое (норма языка)
   По-русски говорят именно «в путешествие», как и «в поездку», «в экспедицию», «в поход». Это привычная, закреплённая конструкция: отправляться + в + существительное (винительный падеж).

2. Какой это падеж и почему именно он
   Предлог «в» с глаголами движения (идти, ехать, отправляться) обычно требует винительного падежа, когда речь о направлении/цели:

• отправляться в путешествие

• отправляться в поездку

• отправляться в экспедицию

Здесь “путешествие” — не место, а событие/мероприятие, но грамматика та же: направление “в что?”.

3. Почему не “в путешествии”
   Форма «в путешествии» — это предложный падеж, и она отвечает на вопрос где? / в чём?
   Так говорят, когда путешествие уже идёт и вы описываете ситуацию:

• в путешествии я познакомился с…

• в путешествии нам пригодилась аптечка

Но “отправляться” — это про начало и направление, поэтому не “в путешествии”, а “в путешествие”.

4. Почему не “в путешествия”
   «в путешествия» — это либо ошибка, либо возможно только в редком контексте множественного числа, но в живой речи так почти не говорят. Обычно путешествие воспринимается как одно конкретное событие: в путешествие.

Итог: отправляться в путешествие (во что? — в путешествие).