Какой частью речи является слово "за" в предложении: "За круглым столом, под большой лампой, сидели с книгами матушка и Аркадий Иванович."?

В этом предложении слово «за» — предлог.

Почему это предлог

1. «За» не называет предмет, признак или действие, а служит для связи слов в словосочетании:
   за столом (вместе с существительным образует обстоятельство места).

2. После «за» стоит существительное в творительном падеже:
   (за чем?) за столом — форма творительного (столом).
   Предлоги как раз и характеризуются тем, что требуют определённого падежа у зависимого слова.

3. По смыслу здесь «за» выражает пространственное отношение — место/расположение:
   «за круглым столом» = “находились, сидели у стола (с той стороны, где сидят), вокруг/при столе” в конкретной ситуации речи.
   То есть «за» помогает указать, где именно сидели.

Чем это не является

• Не союз, потому что не соединяет однородные члены или части предложения.

• Не наречие, потому что наречие не управляет падежом существительного и не требует зависимого слова (нельзя сказать, что «за» здесь само по себе отвечает на вопрос “где?” без слова “столом”).

• Не частица, потому что частица не выражает пространственных отношений и не образует словосочетаний типа «за + сущ. в падеже».

Итог

В сочетании «за круглым столом» слово «за» — предлог (пространственный), входит в обстоятельственный оборот места и управляет творительным падежом слова «столом».