Когда пишется "ни" в отрицательных местоимениях?

Короткий ответ: «ни-» пишется слитно, когда это приставка, образующая отрицательное местоимение (никто, ничто, никакой и т. п.). «ни» пишется раздельно, когда это частица (ни… ни…, ни с кем, кто ни придёт — в значении «кто бы ни…», и т. п.).

Развернуто и с примерами.

1. Слитно — «ни-» как приставка в отрицательных местоимениях.
   Приставка ни- присоединяется к вопросительным/относительным местоимениям и образует отрицательные (полные) местоимения и их формы:

   • кто → никто, никого, никому, никем;

   • что → ничто, ничего, ничему, ничем;

   • какой → никакой;

   • чей → ничей;

   • где → нигде;

   • куда → никуда;

   • когда → никогда;

   • сколько → нисколько.
     Эти слова пишутся одним словом и выражают отрицание: Никто не пришёл. Ничего не осталось. Никакой помощи не было.

2. Раздельно — «ни» как частица.
   Частица ни пишется отдельно и используется в нескольких случаях:

   • в соединении ни … ни … = «ни тот, ни другой» (ни хлеба, ни воды);

   • перед местоимением с предлогом или числительным для усиления отрицания: ни с кем, ни у кого, ни в чём, ни одного (в знач.: «ни одного человека» — часто для усиления: Я не видел ни одного человека);

   • в конструкциях типа кто ни…, что ни…, как ни… со значением «кто бы ни…», «что бы ни…» (условно-усилительное, неотрицательное значение): Кто ни придёт, получит подарок (здесь «ни» — частица, не образец отрицательного местоимения).

3. Отличие от «не».
   «Не» — общая частица отрицания (не вижу, не хочу). «Ни» же в составе слов с приставкой ни- образует сами отрицательные местоимения (никто, ничто). При наличии отрицания в предложении часто используется отрицательное местоимение + отрицательная форма глагола (русская негативная конкордантность): Никто ничего не сказал.

4. Короткая памятка по орфографии.

   • Если слово образовано приставкой и можно написать его как одно слово → слитно: никто, никакой, нигде.

   • Если «ни» — частица, стоящая отдельно перед местоимением или в конструкции «ни… ни…», — раздельно: ни с кем, ни о чём, ни одна, ни… ни….

Итого: «ни» пишут слитно, когда это приставка в самом отрицательном местоимении (никто, ничто и т. п.); раздельно — когда это самостоятельная частица (ни… ни…, ни с кем, кто ни придёт и т. п.).