Уже две недели (1) недавно появившийся у нас (2) щенок осваивает мир (3) заодно прощупывая (4) границы дозволенного. Нужно поставить запятую.

Запятая нужна после слова «мир» (3):

Уже две недели недавно появившийся у нас щенок осваивает мир, заодно прощупывая границы дозволенного.

Почему именно там:

• Оборот «заодно прощупывая границы дозволенного» — это деепричастный оборот (дополнительное действие: щенок осваивает мир и одновременно прощупывает границы).

• Деепричастный оборот обособляется запятой.

Почему не ставим другие запятые:

• «Уже две недели» — обстоятельство времени, само по себе запятой не требует.

• «недавно появившийся у нас» — причастный оборот перед определяемым словом «щенок», и в такой позиции обычно не обособляется: недавно появившийся у нас щенок (это цельное определение).

• Внутри сочетания «недавно появившийся у нас щенок» запятые тоже не нужны: у нас относится к появившийся.

Итог: ставим одну запятую — в позиции (3).