Как говорится? Я буду гулять во дворе или на дворе

Правильно: «Я буду гулять во дворе».

«Во дворе» — это про конкретное место: двор дома, внутреннюю территорию между домами, площадку у подъезда и т. п. То есть вы говорите, где именно будете гулять.

Примеры:

• Я буду гулять во дворе с ребёнком.

• Мы встретились во дворе у подъезда.

• Собака бегает во дворе.

«На дворе» — это другое значение. Так обычно говорят не про место для прогулки, а:

1. про погоду/обстановку “снаружи”, на улице, часто в разговорном стиле:

• На дворе холодно.

• На дворе уже весна.

• Что у нас на дворе творится? (в смысле “что происходит вокруг/в стране/в мире”)

2. про время, эпоху (сейчас, нынче):

• На дворе XXI век.

• На дворе 2026 год.

Если вы хотите сказать именно о прогулке в пространстве вашего дома, двора — «гулять во дворе». Формулировка «гулять на дворе» звучит неестественно и обычно воспринимается как ошибка (если только вы не используете это очень разговорно и в редком контексте “на улице вообще”, но это всё равно не норма для “гулять”).