Как правильно пишется: "Кул-Шариф" или "Кул Шариф"? Нужно ли название мечети заключать в кавычки?

Правильный и наиболее употребительный вариант для названия самой мечети — «Кул-Шариф» через дефис:
мечеть «Кул-Шариф».

Почему через дефис

В русском письме названия объектов (зданий, сооружений, учреждений), образованные как единое наименование из двух частей, очень часто оформляются через дефис, особенно когда обе части — собственные имена и воспринимаются как цельное название. В реальной практике и в официальных/справочных употреблениях именно «Кул-Шариф» закрепилось как название мечети.

Вариант «Кул Шариф» (раздельно) встречается, но обычно его воспринимают скорее как имя человека (Кул Шариф) или как небрежное написание названия мечети. Для объекта (мечети) нормативнее придерживаться формы через дефис.

Нужны ли кавычки

Зависит от того, есть ли рядом родовое слово (мечеть).

1) С родовым словом — кавычки нужны:

• мечеть «Кул-Шариф»
  Это стандартное оформление: родовое слово + собственное название объекта в кавычках.

2) Без родового слова — кавычки обычно не ставят:

• Кул-Шариф находится в Казанском кремле.
  Когда название употребляется само по себе, кавычки чаще опускают: оно и так ясно как имя собственное.

Как писать в тексте (коротко)

• Правильно: мечеть «Кул-Шариф»

• Допустимо без кавычек (если без слова “мечеть”): Кул-Шариф

• Лучше избегать для названия мечети: Кул Шариф (раздельно)

Дополнительно по склонению (если нужно в тексте):

• у мечети «Кул-Шарифа», к мечети «Кул-Шариф», о мечети «Кул-Шариф» (обычно не склоняют вторую часть отдельно; склоняется всё название как единое).