Как проверить слово "будем"?

Слово «будем» проверять не нужно, потому что это форма глагола «быть», а не слово с проверяемой безударной гласной в корне.

Разберёмся:

Будем — это форма будущего времени, 1-е лицо множественного числа:
мы будем.

Здесь корень -буд-. Написание буквы у в этом корне не проверяется подбором проверочного слова, а запоминается. Это часть ряда форм одного и того же глагола:

• буду

• будешь

• будет

• будем

• будете

• будут

То есть правильно писать именно «будем», через у.

Если в школе требуют объяснить написание, обычно так и пишут:
«Будем» — словарное написание, проверочного слова нет. Это форма глагола «быть».

Для запоминания можно опираться на другие формы:
буду, будет, будут — во всех пишется у, поэтому и будем тоже.