Сколькими способами можно в ряду букв ПОДНИМИТЕПЕРЬЯ расставить пробелы (не вставляя никаких знаков препинания), чтобы получилась фраза?

Для того чтобы определить, сколькими способами можно расставить пробелы в слове "ПОДНИМИТЕПЕРЬЯ", нужно понять, сколько вариантов деления этого слова на фразы возможно.

Слово "ПОДНИМИТЕПЕРЬЯ" состоит из 15 букв. Чтобы разделить это слово на несколько частей, нам нужно разместить пробелы между буквами. Это можно сделать, выбрав места для пробелов между буквами слова.

Число возможных мест для пробелов равно 14 (между каждой из 15 букв). Для каждого из этих мест мы можем либо поставить пробел, либо не поставить. Таким образом, у нас есть 2 варианта для каждого из 14 мест.

Следовательно, общее количество способов расставить пробелы будет равно $2^{14}$, так как для каждого из 14 мест пробела есть два возможных варианта (поставить пробел или не поставить).

Таким образом, количество способов расставить пробелы в слове "ПОДНИМИТЕПЕРЬЯ" равно:

Ответ: 16 384 способа.