Являются ли словосочетания однокоренными ,если да то почему и ,если нет то почему : Вековой -вечный,водяной-водитель,друг -дружба, гористый -гореть,мох-мшистый,носить-носовой,сырой-сырный.

Разберу пары по школьному признаку: однокоренные слова должны иметь общий корень и общее основное значение, а не просто одинаковые буквы.

Да, не все эти пары однокоренные. Нужно смотреть не только на похожее написание, но и на значение корня.

Вековой — вечный — однокоренные.
Общий корень связан со значением времени: век, вечный, вековой. В корне происходит чередование: к — ч.
Например: вековой лес — очень старый лес; вечный — существующий очень долго, “на века”.

Водяной — водитель — не однокоренные.
У слова водяной корень связан со словом вода: водяной — относящийся к воде.
У слова водитель корень связан с глаголом водить: водитель — тот, кто водит машину.
Корни похожи по написанию, но значения разные: вода и водить — это разные корни.

Друг — дружба — однокоренные.
Оба слова связаны со значением дружеских отношений. Корень: друг-/друж-, есть чередование г — ж.
Друг — человек, с которым дружат; дружба — отношения между друзьями.

Гористый — гореть — не однокоренные.
Гористый образовано от слова гора: гористая местность — местность с горами.
Гореть связано с огнём, пламенем.
Хотя в словах есть похожая часть гор, значения разные: гора и горение — разные корни.

Мох — мшистый — однокоренные.
Мшистый значит “покрытый мхом”. Корень связан со словом мох.
Здесь при изменении и образовании слова происходит изменение корня: мох — мх- — мш-.
Например: мох, мха, мшистый камень.

Носить — носовой — не однокоренные.
Носить — значит переносить, нести что-то.
Носовой образовано от слова нос, часть лица или передняя часть предмета: носовой платок, носовая часть корабля.
Корни выглядят одинаково, но значения разные, поэтому это не однокоренные слова.

Сырой — сырный — однокоренные, если рассматривать происхождение слов.
Оба слова связаны с корнем сыр-. Слово сыр исторически связано со значением “сырой”, то есть не варёный, не обработанный огнём продукт.
Сырный — относящийся к сыру, а сырой — влажный или не приготовленный. В современном значении они разошлись, но корень у них общий.

Итог:

Однокоренные:
вековой — вечный, друг — дружба, мох — мшистый, сырой — сырный.

Не однокоренные:
водяной — водитель, гористый — гореть, носить — носовой.