Борются — почему окончание -ют?

Борются пишется с окончанием -ют, потому что глагол бороться относится к I спряжению.

У глаголов I спряжения в форме 3-го лица множественного числа используются окончания:

-ут / -ют

Например:

колоть — колют
полоть — полют
бороться — борются

А у глаголов II спряжения в этой форме были бы окончания:

-ат / -ят

Например:

строить — строят
видеть — видят
слышать — слышат

Глагол бороться в неопределённой форме оканчивается на -оться. Постфикс -ся не влияет на спряжение, поэтому смотрим на основу: бороть. Это не глагол на -ить и не исключение II спряжения, значит он относится к I спряжению.

Поэтому правильно:

они борются, а не борятся.

Разбор формы:

бор-ют-ся

где -ют — личное окончание 3-го лица множественного числа I спряжения,
а -ся — возвратный постфикс.