Объясните постановку знаков препинания в этих предложениях: 1. "И, не пуская тьму ночную на золотые небеса, одна заря сменить другую спешит, дав ночи полчаса." 2. "Мы не просто читали стихи, а, желая их запомнить, выучивали наизусть."

В этих предложениях знаки препинания связаны прежде всего с обособлением деепричастных оборотов и с пунктуацией при однородных сказуемых, соединённых союзом а.

1. «И, не пуская тьму ночную на золотые небеса, одна заря сменить другую спешит, дав ночи полчаса».

Грамматическая основа предложения: заря спешит.

Сказуемое выражено сочетанием: спешит сменить.
Подлежащее: заря.

В предложении есть два деепричастных оборота:

не пуская тьму ночную на золотые небеса
и
дав ночи полчаса.

Деепричастные обороты обозначают добавочное действие при основном действии сказуемого спешит.

Основное действие:
заря спешит сменить другую.

Добавочные действия:
не пуская тьму ночную на золотые небеса — то есть заря спешит сменить другую зарю, не давая ночной тьме распространиться по небу;
дав ночи полчаса — то есть ночь получила лишь короткое время.

По правилу деепричастный оборот обычно обособляется запятыми, поэтому ставятся запятые:

И, не пуская тьму ночную на золотые небеса, одна заря...

Оборот стоит после союза и, поэтому запятая ставится после союза:
И, не пуская...

Союз и относится ко всему предложению, а не входит в состав деепричастного оборота. Поэтому после него открывается обособленный оборот.

Вторая запятая закрывает этот оборот:

...на золотые небеса, одна заря...

Далее перед оборотом дав ночи полчаса тоже ставится запятая:

...спешит, дав ночи полчаса.

Этот деепричастный оборот стоит в конце предложения и обособляется одной запятой перед собой.

Итак, в первом предложении все запятые объясняются обособлением деепричастных оборотов:

И, не пуская тьму ночную на золотые небеса, одна заря сменить другую спешит, дав ночи полчаса.

2. «Мы не просто читали стихи, а, желая их запомнить, выучивали наизусть».

Грамматическая основа: мы читали и выучивали.

Здесь есть однородные сказуемые:

читали
и
выучивали.

Они соединены противительным союзом а:

не просто читали стихи, а выучивали наизусть.

Перед союзом а между однородными сказуемыми ставится запятая, потому что союз а является противительным:

Мы не просто читали стихи, а...

Дальше идёт деепричастный оборот:

желая их запомнить.

Он относится ко второму сказуемому выучивали и объясняет, почему или с какой целью мы выучивали стихи наизусть:

желая их запомнить, выучивали наизусть.

Этот деепричастный оборот стоит после союза а, но не сливается с ним по смыслу. Союз а соединяет части конструкции:

не просто читали, а выучивали,

а оборот желая их запомнить является вставленным между союзом и сказуемым выучивали. Поэтому он выделяется с двух сторон запятыми:

а, желая их запомнить, выучивали...

Первая запятая перед а разделяет однородные сказуемые при противительном союзе:

читали стихи, а...

Вторая запятая после а открывает деепричастный оборот:

а, желая...

Третья запятая закрывает деепричастный оборот:

...запомнить, выучивали...

Итак, во втором предложении запятые объясняются так:

Мы не просто читали стихи, а, желая их запомнить, выучивали наизусть.

Запятая перед а ставится из-за противительного союза между однородными сказуемыми, а запятые после а и после запомнить выделяют деепричастный оборот желая их запомнить.