Какой частью речи является слово "первую" в фразеологизме "играть первую скрипку"?

Слово «первую» во фразеологизме «играть первую скрипку» является именем числительным, точнее — порядковым числительным.

Оно отвечает на вопрос «какую?»: играть скрипку какую? — первую.

В этой фразе слово «первую» согласуется с существительным «скрипку» в роде, числе и падеже:

скрипку — женский род, единственное число, винительный падеж;
первую — женский род, единственное число, винительный падеж.

По синтаксической роли слово «первую» является определением, потому что указывает на признак предмета по порядку.

Важно не путать часть речи и член предложения:
часть речи — порядковое числительное,
член предложения — определение.