Объясните написание слова с пропущенной буквой: Пров_лялся Я знаю, что там должна быть буква "а", но как это объяснить (какая причина)?

В слове провалялся пишется буква а, потому что оно образовано от глагола валяться.

Правильное написание: провалялся.

Разберём по составу:

про-вал-я-л-ся

Корень здесь — вал-, как в словах валяться, валяюсь, валялся. Буква а входит в корень и проверяется формой валится/валяться тут не совсем удачно, потому что важно не перепутать два разных глагола:

провалялся — от валяться, то есть «пролежал, провёл время лёжа, без дела»:
Он весь день провалялся на диване.

А вот провалился — от валиться / провалиться, то есть «упал, рухнул, не сдал экзамен»:
Он провалился в яму.
Он провалился на экзамене.

Поэтому объяснение такое: в слове провалялся пишется а, потому что это форма глагола проваляться, образованного от валяться, где в корне пишется а: вал-. Буква я после корня относится уже к суффиксу/глагольной основе: валя-.

Иными словами, надо различать по значению:

провалялся = долго валялся, лежал;
провалился = упал, неудачно сдал, рухнул.

В вашем слове значение связано именно с валяться, поэтому пишем: провалялся.