Как решить неравенство 2x во 2 степери -x-15>0

Для решения неравенства $2x^2 - x - 15 > 0$, следуем таким шагам:

1. Переносим неравенство в стандартный вид
   Неравенство уже имеет стандартный вид квадратичного уравнения:

   $$2x^2 - x - 15 > 0$$

   где $a = 2$, $b = -1$ и $c = -15$.

2. Решаем соответствующее квадратное уравнение
   Для анализа параболы и нахождения промежутков, где выражение больше нуля, находим корни уравнения $2x^2 - x - 15 = 0$. Используем дискриминант для нахождения корней:

   $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)$$ $$D = 1 + 120 = 121$$

   Поскольку дискриминант положителен ($D = 121$), уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корни по формуле:

   $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения $a$, $b$ и $D$:

   $$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4}$$ $$x_{1,2} = \frac{1 \pm 11}{4}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10}{4} = -2.5$$

3. Определяем знаки на промежутках
   Корни $x = -2.5$ и $x = 3$ делят числовую ось на три промежутка:

   • $(-\infty, -2.5)$
   • $(-2.5, 3)$
   • $(3, +\infty)$

   Определяем знак выражения $2x^2 - x - 15$ на каждом из промежутков, подставляя произвольное значение $x$ из каждого интервала в выражение.

   • На интервале $(-\infty, -2.5)$: возьмем $x = -3$. $$2(-3)^2 - (-3) - 15 = 18 + 3 - 15 = 6 > 0$$
   • На интервале $(-2.5, 3)$: возьмем $x = 0$. $$2(0)^2 - 0 - 15 = -15 < 0$$
   • На интервале $(3, +\infty)$: возьмем $x = 4$. $$2(4)^2 - 4 - 15 = 32 - 4 - 15 = 13 > 0$$

   Итак, выражение $2x^2 - x - 15$ положительно на промежутках $(-\infty, -2.5)$ и $(3, +\infty)$.

4. Записываем ответ
   Поскольку нас интересует, где $2x^2 - x - 15 > 0$, то решением неравенства будет объединение этих промежутков:

   $$x \in (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty)$$

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty)$.