решите уравнение
2sin²x-2sinx-1=0

Решим уравнение \(2\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0\).

Замена: \(t = \sin x\), тогда \(2t^2 - 2t - 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4\cdot 2\cdot (-1) = 4 + 8 = 12\).

Корни: \(t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\).

\(t_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1{,}366 > 1\) — не подходит, так как \(|\sin x| \le 1\).

\(t_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0{,}366\).

Возвращаемся к \(x\): \(\sin x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\).

Тогда \(x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).

Или в виде двух серий: \(x = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k\) и \(x = \pi - \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\).

0 0 Пожаловаться